МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВОЗДУШНОГО СНАЙПЕРА

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВОЗДУШНОГО СНАЙПЕРА

К вопросу оценки эффективности применения неуправляемых авиационных средств поражения с учетом индивидуального рассеивания

Одна из важнейших составляющих боевой авиации в современных условиях определяется  возможностью результативного применения авиационных боевых комплексов (АК), а сама  их эффективность в значительной мере зависит от методов исследования и оценки действенности авиационных прицельно-навигационных комплексов (ПрНК) АК. На этом фоне низкая продуктивность в боевом применении неуправляемых авиационных бомбардировочных средств поражения (АБСП) становится основной причиной больших материальных и финансовых потерь государства. Одной из главных причин низкой эффективности боевого применения является несоответствие современных моделей рассеивания АБСП результатам эксперимента в разных условиях боевого применения. В настоящее время все разработанные подходы к результатам оценки точностных характеристик ПрНК не позволяют определить адекватные показатели боевой эффективности (вероятность поражения цели, математическое ожидание ущерба). Используемые модели, не учитывают неоднородность распределения точек падения АБСП в зависимости от различных условий. Это может стать причиной несоответствия с заданным ущербом противнику или привести к увеличению наряда сил и средств для выполнения боевой задачи (дополнительный расход ресурса, горюче-смазочных материалов и авиационных средств поражения (АСП)).

Следует заметить, что каждому процессу бомбометания (с горизонта, с пикирования, с кабрирования и др.) соответствует свой уникальный вид статистического распределения точек падения АБСП и свои статистические показатели (мода, медиана, дисперсия и т. д.). Однако в известных работах по оценке эффективности и точности боевого применения АБСП за истину принимается гипотеза о гауссовском распределении точек падения АБСП для всех условий боевого применения. Поэтому устранение выявленного несоответствия между априорно принятыми статистическими характеристиками распределения точек падения АБСП и статистическими характеристиками по экспериментальным данным приобретает для авиации ВКС особую актуальность и является причиной проведения анализа существующих способов оценки эффективности ПрНК в целях разработки методики оценки, учитывающей характеристики рассеивания неуправляемых АБСП в различных условиях.

Современная практика обработки результатов боевых применений и анализа характеристик рассеивания АБСП основывается на умозаключении, основанном на гауссовском законе распределения (для определения значений, соответствующих заданным значениям вероятности). Используется одна теоретическая база, аксиоматическая теория вероятностей, разработанная А.Н. Колмогоровым, что приводит к стереотипизации и одностороннему исследованию предметной области.

Дальняя бомбардировочная авиация успешно действовала в годы Великой Отечественной войны
Дальняя бомбардировочная авиация успешно действовала в годы Великой Отечественной войны

Анализ научных трудов по теории вероятностей и математической статистики в целях выявления обоснованности применения аксиоматической теории вероятностей и математической статистики при оценке результатов бомбометаний показал, что в подавляющем большинстве авторы говорят о том, что для вычисления параметров статистических совокупностей, полученных в результате применения АБСП без исследования вида функции плотности распределения, используются следующие утверждения:

распределение на плоскости имеет вид эллипса рассеивания;

параметры рассеивания в полной мере характеризуются рассеиванием по двум осям;

распределение по осям имеет характер гауссовского;

точность применения АСП оценивается по правилу 3σ.

При этом некоторые авторы необоснованно используют формулы для расчета математического ожидания, среднеквадратичных отклонений (СКО), дисперсии рассеивания без учета характеристик функций плотности исследуемой случайной величины, а также допускают замену эллиптического рассеивания на круговое без ссылок на численные значения соответствующих высот и скоростей бомбометания [1–3].

В частности в рассмотренной литературе отсутствуют какие-либо упоминания о статистической достоверности функциональных зависимостей вероятного отклонения от высоты и скорости бомбометания на основе метода наименьших квадратов, а также ссылки на стандартные процедуры оценки результатов, полученные на основе вышеуказанного метода [3].

Неубедительными являются утверждения о том, что закон распределения координат при стрельбе считается нормальным по каждой из координат, без ссылки на исследуемый статистический материал, а также без определения вида функции плотности распределения и подтверждения полученного вида распределения с заданной степенью вероятности. Ошибочным является и использование СКО для оценки точности применения АБСП, исходя из априорных утверждений о нормальности распределения, вместо вычисления вероятности попадания АБСП в заданный интервал, исходя из функции плотности распределения точек падения АБСП.

Результаты проведенного выше анализа позволили критически подойти к задаче оценки экспериментальных данных бомбометаний в различных режимах, при которых использовался классический подход, разработанный А.Н. Колмогоровым. Имея необходимую и достаточную по мощности выборку, характеризующую результаты боевого применения АБСП, построено распределение точек падения АБСП по экспериментальным данным. Для этого было обработано более 2500 результатов боевых применений неуправляемых АБСП с горизонтального полета и пикирования. Целью проведенного исследования явилось выявление различий видов распределения точек падения АБСП, соответствующих условиям применения АБСП, а также обоснование необходимости использования частотного метода определения характеристик рассеивания АБСП для конкретных условий боевого применения. Результаты были отнормированы и представлены в виде диаграмм, представляющих собой зависимость количества точек падения боеприпасов от азимута (рис. 1).

Рисунок 1а показывает плотность распределения азимутов точек падения АБСП, если результаты бомбометания подчиняются нормальному закону распределения (в соответствии с общепринятой в настоящей время моделью).

Рисунки 1б и показывают плотность распределения азимутов точек падения АБСП в условиях бомбометания с горизонтального полета и пикирования на основе экспериментальных данных. Как видно, существуют сильные различия между диаграммами плотности распределения бомбометаний, построенными на основе экспериментальных данных боевых применений и при условии распределения боеприпасов в соответствии с априорно заданным нормальным законом распределения. Таким образом, выявленные противоречия в оценке параметров рассеивания при бомбометании определили их неоптимальный характер, низкую достоверность и явились стимулирующими для разработки методики оценки эффективности ПрНК, учитывающей характеристики рассеивания неуправляемых АБСП в различных условиях бомбометания.

Адекватность и достоверность определения точностных характеристик обеспечивается исключительно методически грамотным исследованием эмпирических данных на основе определения частотных показателей исследуемой совокупности. Подобный взгляд на теорию вероятностей был предложен в 1919 году Рихардом Мизесом, который интерпретировал ее как частотный или эмпирический подход [4]. В этом случае вероятность определяется прежде всего через относительную частоту событий непосредственно либо косвенным путем, и чтобы вычислить вероятность некоего события, сначала мы должны получить случайную последовательность (т.е. в нашем случае результаты боевого применения  — точки падения боеприпасов и соответствующие частоты), и только после этого определить характеристики рассеивания.

Ту-22 МС уходит на задание
Ту-22 МС уходит на задание

Суммируя вышесказанное и основываясь на материалах многочисленных литературных источников, можно сделать вывод об априорном убеждении многочисленных авторов о нормальном (гауссовском) распределении плотности вероятности случайной величины при бомбометании, что противоречит утверждениям основоположников теории вероятностей и практике исследований данного вопроса [1–4]. Таким образом, гипотеза о том, что распределение точек падения АБСП может иметь не гауссовский характер, приводит нас к заключению о необходимости вычисления характеристик рассеивания в соответствии с законами распределения, определенными эмпирическим путем. То есть, с одной стороны, имеются существенные различия в условиях боевого применения АБСП, с другой — априорно принимается гипотеза о гауссовском распределении точек падения АБСП для всех условий боевого применения.

Для устранения выявленного противоречия предлагается использовать методику оценки эффективности ПрНК, учитывающую характеристики рассеивания неуправляемых боеприпасов в различных условиях. Полученные результаты могут использоваться для определения вероятностей поражения наземных целей, соответствующих реальному процессу (в широком смысле), расчету потребного (рационального) наряда сил и средств в целях минимизации расхода ресурсов (в узком смысле) и могут служить основой развития теоретических положений создания ПрНК современных АК [5].

Сущность предлагаемой методики заключается в уникальной практической  функции построения и распределения точек падения АБСП, в формировании и оценке статистических характеристик на основе экспериментальных данных. Таким образом, методика представляет собой систематизированную совокупность моделей, реализуемых для решения задачи оценки эффективности ПрНК в виде статистических инвариантов результатов бомбометания в различных условиях.

 Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

разработана модель построения оптимального частотного интервала для вычисления действительных значений статистических параметров исследуемого процесса бомбометания;

разработана модель оценки параметров области вероятного падения АСП в различных условиях боевого применения.

Экипаж Су-34 осуществляет бомбометание
Экипаж Су-34 осуществляет бомбометание

Основной особенностью разработанной модели построения оптимального частотного интервала является определение величины частотного интервала через максимальное различие между модой и математическим ожиданием случайной величины. Идея этой модели основана на следующей аксиоме: при бесконечном повышении качества модели она приближается к самому объекту.

Предлагается итерационная модель определения величины частотного интервала, сущность которой заключается в следующем:

  1. Число интервалов (М) определяем по формуле Стерджесса:

M = 1+3.22 lg n = 1+ 1.44 ln n   (1)

где: n — количество экспериментальных данных величины Х.

Величина интервала (I) равна:

I = R/M                     (2)

где: R — размах выборки; M — количество интервалов.

  1. На следующем этапе уменьшаем величину интервала на величину линейного размера боеприпаса. Группируем статистические данные и производим проверку частот на соответствие нормальному распределению в интервале по критерию 2:

         (3)

где: ∫*— частоты статистической совокупности с интервалом I, вычисленным по формуле Стерджесса; ∫i — частоты статистической совокупности с интервалом, равным  Ik+1= Ik— k×lk = 1,K; l — размер боеприпаса, k — шаг итерации.

  1. Определение оптимальной величины частотного интервала производится путем нахождения разности между математическим ожиданием и модой на каждой итерации (Raznk) сформированной статистической совокупности:

                   (4)

где: Mok— мода на k-ой итерации; Xk — математическое ожидание на k-ой итерации.

Оптимальным будет интервал, при котором разность Raznk между математическим ожиданием и модой будет максимальной.

В результате проведенного исследования размер частотного интервала, позволяющий выявить достоверные статистические различия между модой и математическим ожиданием, равен 1–2 линейным размерам АБСП.

Вычисление моды выполняется в следующей последовательности:

                         , (5)

где: xo — нижняя граница модального интервала; Mo— частота модального интервала;  Mo-1 — частота в предыдущем интервале;  Mo+1 — частота в следующем интервале за модальным; i — размер интервала (изменяется от М до 1–2 линейных размера АБСП).

Математическое ожидание определяем на основе вычисления интеграла Лебега-Стилтьеса, и если рассматриваемая функция является непрерывной и дифференцируемой, то интеграл Лебега-Стилтьеса существует и в смысле абсолютной сходимости и равен интегралу Римана. Полученный результат вычисления является наилучшим приближением к истинному значению математического ожидания случайной величины.

Модель вероятного падения АБСП в различных условиях боевого применения относительно цели относится к основным задачам оценки эффективности ПрНК при бомбометании. Эта задача решается путем определения координат точек падения АБСП и вычисления статистических параметров, характеризующих условия применения боеприпасов.

В качестве критерия оптимальности, пространственного положения области вероятного падения АБСП наиболее применяемой является максимальная вероятность попадания в приведенную зону поражения (ПЗП).

Для этого, получив координаты центра рассеивания:

1) производим построение эмпирического частотного ряда по осям х и z в пределах размаха статистической совокупности с интервалом, равным 1–2 линейным размерам боеприпаса, в соответствии с этапами, указанными в разработанной модели построения оптимального частотного интервала;

2) выполняем построение частотного ряда по экспериментальным данным бомбометаний в соответствии с классическим подходом для нормального распределения (величина интервала определяется по формуле Стерджесса);

3) определяем ПЗП (D), попадание в которую хотя бы одного АБСП приводит к уничтожению этой элементарной цели с вероятностью, равной 1
(интервал [a; b])  (рис. 2);

Рис. 2. Графики реального (f) и нормального (e) распределения случайной величины при выполнении бомбометаний с ГП (Н < 1000 м)
Рис. 2. Графики реального (f) и нормального (e) распределения случайной величины при выполнении бомбометаний с ГП (Н < 1000 м)

4) выполняем сравнение вероятностей (частот) попадания в площадь, равную ПЗП, с центром в окрестности наибольшего сосредоточения точек падения АБСП для экспериментального распределения:

первой — полученной при использовании гипотезы о нормальном распределении точек падения АБСП с параметрами экспериментального распределения (математического ожидания и СКО);

второй — полученной на основе использования частотного метода по экспериментальным данным.

Пересечение частотных интервалов, находящихся в области под кривыми e и f, характеризует величину рассогласования (Q) между реальным распределением и аксиоматическим, распределенным по нормальному закону, и рассчитывается с использованием формулы:

          , (6)

где: fi — соответствующие частоты на интервале [a; b].

Максимизация вероятности поражения цели обеспечивается за счет использования частотных характеристик эмпирического ряда распределения путем переноса центра рассеивания (моды) эмпирического распределения в центр цели.

Оценка различия вероятностей эмпирического и нормального распределения с позиции причинения заданного ущерба:

  1. Рассматривалась величина ПЗП (D) равная ±5…150 м, для которой рассчитаны вероятности попадания, соответствующие первому и второму распределению, и произведена оценка отношения вероятностей в соответствии с формулой (6).
  2. Построены две функции распределения плотности вероятности случайной величины:

первая — по нормальному закону и нулевым математическим ожиданиям;

вторая — соответствующая реальному распределению бомбометания с горизонтального полета при Н < 1000 м.

График, иллюстрирующий разность вероятностей, соответствующий двум распределениям, представлен на рисунке 3 и характеризует величину рассогласования (в %) между реальным распределением и аксиоматическим, распределенным по нормальному закону.

Рис. 3. График разности вероятностей эмпирического и нормального распределения при бомбометании с горизонтального полета (Н < 1000 м)
Рис. 3. График разности вероятностей эмпирического и нормального
распределения при бомбометании с горизонтального полета (Н < 1000 м)

Полученные результаты могут быть использованы в техническом решении, позволяющем повысить эффективность боевого применения современных АК оперативно-тактической авиации (ОТА) на основе модернизации ПрНК в части, касающейся боевого применения неуправляемых АБСП (рис. 4).

Рис. 4. Функциональное построение ПрНК
Рис. 4. Функциональное построение ПрНК

Таким образом, основным результатом проведенной работы является повышение эффективности ПрНК на основе разработанных моделей и методики, учитывающих неоднородность распределения рассеивания АСП в зависимости от условий их применения. Кроме того, ее результаты могут служить основой развития теоретических положений при создании прицельно-навигационных комплексов  для современных типов боевой авиации.

ЛИТЕРАТУРА:

Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936.– 81 с.

Вентцель Е.С. Основы теории боевой эффективности и исследования опреаций. — М.: Издание ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1961. — 524 с.

Козьменко В.И. Методическое пособие по сбору, учету и анализу результатов применения авиационных средств поражения для оценки точностных характеристик прицельно-навигационных комплексов / В.И. Козьменко, А.К. Ганулич. — М.: Издание ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1986. — 65 с.

Мизес Р. Вероятность и статистика. Пер. с нем. / Под ред. А.Я. Хинчина. Изд. 5-е. — М.: Книжный дом «Либроком», 2009. — 264 с.

Власов Р.Ю. Системное исследование современных способов оценивания точностных характеристик применения авиационных средств поражения и обоснование необходимости разработки аналитических и процедурных моделей оценивания результатов боевого применения / Р.Ю. Власов, C.И. Кобылаш, С.В. Петренко// Сборник статей Всероссийской НПК «Современное состояние и перспективы развития систем связи и радиотехнического обеспечения в управлении авиацией». Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА». 2015. С. 318–319.

Р. ВЛАСОВ, кандидат технических наук, майор,
А. ЯКОВЛЕВ, кандидат технических наук, подполковник